Quando si effettua lo studio dei Sistemi continui, capita di avere a che fare frequentemente con operazioni matematiche che possono risultare complicate, specialmente per alcuni studenti. Operazione di derivazione come derivata prima, derivata seconda ecc. oppure operazione di Integrazione. Le variabili di uscita del sistema, ancorché LTI, ossia Lineare e tempo invariante e le variabili di ingresso compaiono in un modello matematico integro-differenziale.
Per esempio si dimostra che in un circuito RLC serie si puo' scrivere
$$ L \frac {di(t)}{dt} + Ri(t) + \frac{1}{C}\int i(t)dt = v_i(t) $$
derivando entrambi i membri otteniamo
$$ L \frac {d^2i(t)}{dt^2} + R \frac {di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = \frac {dv_i(t)}{dt} $$
In generale si dimostra che si puo' sempre ottenere una equazione della forma:
$$ a_n \frac {d^nu(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac {d^ {n-1} u(t)}{dt^ {n-1} }+ .... + a_1 \frac {du(t)}{dt} + a_0 u(t) = \\ b_n \frac {d^ni(t)}{dt^n} + b_{n-1} \frac {d^ {n-1} i(t)}{dt^ {n-1} }+ .... + b_1 \frac {di(t)}{dt} + b_0 i(t) $$
ma tale equazione è intrinsecamente difficile da risolvere, specialmente in un corso di Sistemi di scuola superiore e non universitario.
Per evitare di ricorrere a metodi matematici che non si conoscono è utile passare attraverso il metodo della trasformata di Laplace.
Il grosso vantaggio è che con Laplace, nel dominio trasformato, l'equazione differenziale diventa una equazione algebrica, un polinomio o un rapporto tra polinomi. Dunque molto semplice da risolvere.
Inoltre attraverso il legame tra l'uscita e l'ingresso nel dominio trasformato, è possibile ottenere la cosidetta Funzione di trasferimento intrinseca del Sistema, che ci fornisce importanti informazioni su:
- risposta in frequenza
- insensibilità ai disturbi
- stabilità del sistema stesso.
A partire dalla funzione di trasferimento si può poi effettuare l'operazione inversa, e per farlo esiste un metodo semplice, che vedremo in seguito, basato sulle Tabelle delle trasformate di Laplace già note e sulle loro proprietà.
L'operazione inversa si chiama Antitrasformata di Laplace, e con essa si ottiene quella soluzione, nel dominio del tempo, che con il metodo diretto è difficile, se non impossibile da calcolare, per via analitica, se non nei sistemi estremamente semplici.
L'uso del metodo della Trasformata di Laplace richiede:
- di utilizzare le tabelle delle trasformate di Laplace per calcolare la trasformata delle variabili di ingresso.
- di utilizzare il metodo di Laplace per passare dall'equazione integro-differenziale ad una più semplice equazione di tipo algebrico
- di calcolare l'uscita nel dominio trasformato
- di antitrasformare per determinare l'uscita nel dominio del tempo.
Matematicamente si passa dalla variabile indipendente t che rappresenta il tempo alla variabile complessa $ s = \alpha + j \omega $. Infatti s è una variabile complessa perché $\alpha=Re[s]$ e $\omega=Im[s]$ .
La definizione di trasformata di Laplace (bilatera) è la seguente:
$$ X(s) = \int \limits_{-\infty }^ {+ \infty } x(t) e^{-st}dt $$
Si scrive
$$ \mathscr{L}[x(t)] = X(s) $$
Il calcolo dell'integrale nei casi pratici che capitano nelle scuole superiori non è mai necessario, essendo sufficiente consultare i manuali tecnici e le tabelle delle trasformate.
Se il segnale è nullo per t<0, per esempio perché è moltiplicato per il segnale noto chiamato "gradino", la definizione di trasformata di Laplace è:
$$ X(s) = \int \limits_{ 0 }^ {+ \infty } x(t) e^{-st}dt $$
Per un utile approfondimento ed esempi si consiglia di scaricare la seguente dispensa, e di consultare il libro della casa editrice Zanichelli Stefano Mirandola Elettrotecnica ed elettronica .
Teoremi e proprietà delle trasformate di Laplace
Tutte le seguenti proprietà non vengono dimostrate.
Linearità
La trasformata di una combinazione lineare è la combinazione lineare delle trasformate.
$$x(t)=\sum_{i=1}^{k}a_i x_i(t) $$
$$X(s)=\sum_{i=1}^{k}a_i X_i(s) $$
Traslazione nel tempo
$$y(t)=x(t-\tau ) $$
$$Y(s)=e^{-s\tau } X(s) $$
Traslazione nel dominio della trasformata
$$y(t)= e^{-t\tau } x(t) $$
$$Y(s)=X(s+\tau) $$
Regola per la Derivata
$$y(t)= \frac {dx(t)}{dt} $$
$$ Y(s) = s X(s) - x(0) $$ nel caso della trasformata di Laplace unilatera e
$$ Y(s) = s X(s) $$ in caso di quella bilatera.
Questo significa che se x(0) = 0, derivare nel tempo vuol dire semplicemente moltiplicare per s la sua trasformata e scompare la necessità di calcolare la derivata. Questo è un grosso vantaggio del metodo di Laplace.
Regola per l'Integrale
$$y(t)= \int \limits_{-\infty }^{t} {x(\tau ) d\tau } $$
Nel dominio trasformato l'integrale sparisce, non va calcolato e basta dividere la trasformata per s
$$Y(s)= \frac {X(s)}{s} $$
Regola per la Derivata nel dominio trasformato
$$Y(s)= \frac {dX(s)}{ds} $$
$$y(t)= - t x(t) $$
Convoluzione
$z(t)= x(t) y(t) $ diventa la convoluzione nel dominio trasformato $Z(s)= X(s) * Y(t) $
Viceversa la convoluzione nel tempo diventa il prodotto nel dominio trasformato.
$Z(s)= X(s)Y(s) $ diventa $z(t)= x(t) * y(t) $
Matematicamente la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore.
Si scrive:
$$ z(t)= x(t) * y(t) = \int \limits_{-\infty }^ {+ \infty } x(\tau)y(t-\tau)d\tau $$
Teorema del valore finale
$$ lim _ {t \to \infty } {x(t)} = lim_ {s \to 0} {s X(s)} $$
Teorema del valore iniziale
$$ lim _ {t \to 0 } {x(t)} = lim _ {s \to \infty } {s X(s)} $$
A questo punto è possibile svolgere alcuni Esercizi